Historía
Definición
En esencia, una función es continua si su gráfica es una línea seguida, no interrumpida.
La definición matemática de continuidad comprende las propiedades de los límites. En la definición de límite el valor de no se especifica; es decir este límite depende únicamente de los valores de en la vecindad de (o sea, cerca de), pero no en el valor de .
Por consiguiente, puede ser o no ser igual a.
Si existe, y también existe el valor de, siendo igual a, entonces es continua en.
Es decir, se dice que una función es continua en si:
Entonces se puede decir que una función f (X) es continua en (o sobre) un intervalo (o bien) si es continua en cada punto del intervalo en cuestión.
De la definición de continuidad se deduce que la gráfica de una función que es continua en un intervalo, es una línea ininterrumpida(es decir, una que se puede trazar sin levantar la pluma o lápiz del papel) sobre el espacio de ese intervalo, o también se hace posible trazar una curva con sólo situar unos pocos puntos y dibujar una línea con trazo ininterrumpido pasando por ellos, se justificará en el caso de varias clases de curvas.
Condiciones
Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:
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Que el punto x= a tenga imagen.
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Que exista el límite de la función en el punto x = a.
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Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto (Cuando se dice que la función tenga imagen es que en un punto (a) de la función(x) se refleje en la grafica y de ahí empezamos a mirar si el limite existe en ese punto)
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Si una función no es continua en un punto x=a, diremos que es discontinua en dicho punto.
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Una función es continua por la derecha en un punto si existe el límite por la derecha en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto, es decir. Una función es continua por la izquierda en un punto si existe el límite por la izquierda en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.
Discontinuidades
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Una función es discontinua en un punto cuando no existe límite en él o, existiendo, no coincide con el valor de la función en el mismo.
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Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe límite en él y no coincide con el valor de la función en elmismo.El valor que deberíamos dar a la función en dicho punto para que fuera continua en él se llama verdadero valor de la función en el mismo.
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Una función tiene una discontinuidad inevitable.
Las funciones polinomiales, trigonométricas: seno y coseno, las exponenciales y los logaritmos son continuas en sus respectivos dominios de definición.